Упр.22.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область значений функции: а) у = cos Зх + корень(cos2 (3x — 1)); б) у = sin 2x + корень(sin2 (4x — 1)).

а) Пусть $$y=\cos 3x.$$ Тогда нужно найти, при каких значениях $$y$$ выполняется неравенство

$$4y^2<1.$$

Решим его:

$$ 4y^2-1<0 \\ (2y-1)(2y+1)<0 \\ -\frac12<y<\frac12. $$

Значит,

$$-\frac12<\cos 3x<\frac12.$$

Для косинуса это равносильно:

$$ \frac{\pi}{3}+2\pi n<3x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Делим на 3:

$$ \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z. $$

б) Пусть $$y=\cos t.$$ Тогда нужно решить неравенство

$$3y^2<y.$$

Получаем:

$$ 3y^2-y<0 \\ y(3y-1)<0 \\ 0<y<\frac13. $$

Следовательно,

$$0<\cos t<\frac13.$$

Это означает, что одновременно выполняются неравенства

$$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n $$

и

$$ -\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Пересечение этих промежутков:

$$ -\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<-\arccos\frac13+2\pi n $$

или

$$ \arccos\frac13+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<-\arccos\frac13+2\pi n$$ или $$\arccos\frac13+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$