Упр.22.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область значений функции: а) у = sin x + корень(-cos2 x); б) у = cos x + корень(-sin2 x).

Подробный ответ

а) $$3\cos^2 t-4\cos t\ge 4$$
Положим $$y=\cos t$$. Тогда
$$3y^2-4y-4\ge 0$$
$$D=16+48=64$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 8}{6}$$
$$y_1=-\frac23,\qquad y_2=2$$
Следовательно,
$$\left(y+\frac23\right)(y-2)\ge 0,$$
откуда с учётом $$-1\le \cos t\le 1$$ получаем
$$\cos t\le -\frac23.$$
Тогда
$$\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n\le t\le 2\pi-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
б) $$6\cos^2 t+1>5\cos t$$
Положим $$y=\cos t$$. Тогда
$$6y^2-5y+1>0$$
$$D=25-24=1$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 1}{12}$$
$$y_1=\frac13,\qquad y_2=\frac12$$
Следовательно,
$$\left(y-\frac13\right)\left(y-\frac12\right)>0,$$
откуда
$$\cos t<\frac13 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac12.$$
Значит,
$$\arccos\frac13+2\pi n<t<2\pi-\arccos\frac13+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
или
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
в) $$3\cos^2 t-4\cos t<4$$
Положим $$y=\cos t$$. Тогда
$$3y^2-4y-4<0$$
$$D=64,\qquad y_1=-\frac23,\qquad y_2=2$$
Получаем
$$-\frac23<y<2.$$
С учётом $$-1\le \cos t\le 1$$ имеем
$$\cos t>-\frac23.$$
Тогда
$$-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n<t<\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
г) $$6\cos^2 t+1\le 5\cos t$$
Положим $$y=\cos t$$. Тогда
$$6y^2-5y+1\le 0$$
$$D=1,\qquad y_1=\frac13,\qquad y_2=\frac12$$
Следовательно,
$$\frac13\le y\le \frac12,$$
то есть
$$\frac13\le \cos t\le \frac12.$$
Отсюда
$$-\arccos\frac13+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
или
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \arccos\frac13+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$