Упр.22.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область определения функции: а) y=sinx/(2cosx-1) б) y=ctgx(Пи-3cosx) в) y=кореньx/sinx г) y=tgx/корень(x-5)

1. а) $$y=\frac{\sin x}{2\cos x-1}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$2\cos x-1\ne 0$$

   $$\cos x\ne \frac12$$

   Следовательно, нужно исключить точки

   $$x=\pm \arccos \frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Значит,

   $$x\ne \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$y=\ctg x\,(\pi-3\cos x)$$

   Функция $$\ctg x$$ не определена при

   $$\sin x=0,$$

   то есть при

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Множитель $$\pi-3\cos x$$ ограничений не накладывает.

   Следовательно,

   $$x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$y=\frac{\sqrt{x}}{\sin x}$$

   Для корня нужно:

   $$x\ge 0.$$

   Кроме того, знаменатель не должен быть равен нулю:

   $$\sin x\ne 0.$$

   При $$x\ge 0$$ это означает

   $$x\ne \pi n,\quad n=0,1,2,\dots$$

   Итак, область определения:

   $$x\ge 0,\quad x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z_{\ge 0}.$$

4. г) $$y=\frac{\tg x}{\sqrt{x-5}}$$

   Подкоренное выражение должно быть положительным, так как корень стоит в знаменателе:

   $$x-5>0,$$

   то есть

   $$x>5.$$

   Также функция $$\tg x$$ определена при

   $$\cos x\ne 0,$$

   то есть

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x>5,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\ne \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$x\ge 0,\ x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z_{\ge 0};$$
г) $$x>5,\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$