Упр.22.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) |х + 3| sin x = x + 3; б) 2|х — 6| cos x = x — 6.

Подробный ответ

а) Преобразуем уравнение:
$$2+\ctg^2 x=(\sin x)^{-2}+\cos 4x$$
Так как $$\ctg^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$$ и $$\dfrac{1}{\sin^2 x}=\dfrac{\cos^2 x+ \sin^2 x}{\sin^2 x},$$ получаем
$$2+\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x}+\cos 4x$$
$$2+\frac{\cos^2 x-1}{\sin^2 x}=\cos 4x$$
$$2-\frac{1-\cos^2 x}{\sin^2 x}=\cos 4x$$
$$2-\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}=\cos 4x$$
$$\cos 4x=1$$
Отсюда
$$4x=2\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Но выражение имеет смысл только при $$\sin x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pi n.$$
На промежутке $$\left(-\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем:
$$x=-\frac{\pi}{2},\ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}.$$
Исключаем $$x=0,\ \pi,$$ так как при них $$\sin x=0.$$
Остаются три корня.
б) Преобразуем уравнение:
$$2\tg^2 x=(\cos x)^{-2}+\sin 3x$$
Так как $$\tg^2 x=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$ и $$\dfrac{1}{\cos^2 x}=\dfrac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\cos^2 x},$$ имеем
$$2+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}+\sin 3x$$
$$\frac{\sin^2 x-1}{\cos^2 x}=\sin 3x$$
$$\frac{-\cos^2 x}{\cos^2 x}=\sin 3x$$
$$\sin 3x=-1.$$
Тогда
$$3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
Но выражение имеет смысл только при $$\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n.$$
На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};2\pi\right]$$ получаем:
$$x=-\frac{\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}.$$
Все эти значения допустимы.