Упр.22.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение cos(Пи/3-2x) = 1/2 и найдите: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие отрезку [-Пи/2; 3Пи/2] в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу (-Пи; Пи/2)

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\frac12$$

Так как $$\cos(-t)=\cos t,$$ то

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Тогда

$$2x-\frac{\pi}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

2) $$2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$2x=2\pi n,$$

$$x=\pi n.$$

Итак, общее решение:

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

а) Наименьший положительный корень: из первого семейства при $$n=0$$ получаем $$x=\frac{\pi}{3}.$$

б) Корни на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$:

из $$x=\pi n$$ получаем $$x=0,\ \pi;$$

из $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$ получаем $$x=\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}.$$

в) Наибольший отрицательный корень: из второго семейства при $$n=-1$$ получаем $$x=-\frac{2\pi}{3}.$$

г) Корни на интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right)$$:

из $$x=\pi n$$ получаем $$x=0;$$

из $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$ получаем $$x=-\frac{2\pi}{3},\ \frac{\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{3}$$; б) $$0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}$$; в) $$-\frac{2\pi}{3}$$; г) $$-\frac{2\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{3}$$.