Упр.22.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение sin(2x-Пи/4) = -1 и найдите: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие отрезку [-Пи/2;3Пи/2] в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу [-Пи;Пи/2]

Решим уравнение:

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Синус равен $-1$, когда

$$2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$2x=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+2\pi n=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

а) Наименьший положительный корень:

$$-\frac{\pi}{8}+\pi n>0.$$

При $n=1$ получаем

$$x=-\frac{\pi}{8}+\pi=\frac{7\pi}{8}.$$

б) Корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]:$$

При $n=0$:

$$x=-\frac{\pi}{8}.$$

При $n=1$:

$$x=\frac{7\pi}{8}.$$

Оба корня лежат на данном отрезке.

в) Наибольший отрицательный корень:

При $n=0$:

$$x=-\frac{\pi}{8}.$$

Это и есть наибольший отрицательный корень.

г) Корни, принадлежащие интервалу $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right):$$

При $n=0$:

$$x=-\frac{\pi}{8},$$

и этот корень принадлежит интервалу.

Ответ

$$x=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z};$$

а) $$\frac{7\pi}{8};$$

б) $$-\frac{\pi}{8},\ \frac{7\pi}{8};$$

в) $$-\frac{\pi}{8};$$

г) $$-\frac{\pi}{8}.$$