Упр.22.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения на заданном промежутке: а) sin3x=корень2/2, [0;2Пи] б) cos3x=корень3/2, [-Пи;Пи] в) tgx/2=корень3/3, [-3Пи;3Пи] г) ctg4x=-1, [0;Пи]
а) $$\sin 3x=\frac{\sqrt2}{2}, \quad x\in[0;2\pi]$$
$$3x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$
Подбираем значения $$n$$, при которых $$x\in[0;2\pi]$$:
$$x=\frac{\pi}{12},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{11\pi}{12},\ \frac{17\pi}{12},\ \frac{19\pi}{12}$$
б) $$\cos 3x=\frac{\sqrt3}{2}, \quad x\in[-\pi;\pi]$$
$$3x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}$$
На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:
$$x=-\frac{13\pi}{18},\ -\frac{11\pi}{18},\ -\frac{\pi}{18},\ \frac{\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{13\pi}{18}$$
в) $$\tg\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{3}, \quad x\in[-3\pi;3\pi]$$
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$
На отрезке $$[-3\pi;3\pi]$$:
$$x=-\frac{5\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$
г) $$\ctg 4x=-1, \quad x\in[0;\pi]$$
$$4x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем:
$$x=\frac{3\pi}{16},\ \frac{7\pi}{16},\ \frac{11\pi}{16},\ \frac{15\pi}{16}$$
Ответ
а) $$\frac{\pi}{12},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{11\pi}{12},\ \frac{17\pi}{12},\ \frac{19\pi}{12}$$;
б) $$-\frac{13\pi}{18},\ -\frac{11\pi}{18},\ -\frac{\pi}{18},\ \frac{\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{13\pi}{18}$$;
в) $$-\frac{5\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$;
г) $$\frac{3\pi}{16},\ \frac{7\pi}{16},\ \frac{11\pi}{16},\ \frac{15\pi}{16}$$.
