Упр.22.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) cos(Пи/6-2x) = -1 б) tg (пи/4-x/2) = -1 в) 2sin (Пи/3-x/4) = корень3 г) 2cos(Пи/4-3x) = корень2

1. $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-1$$

   Значение косинуса равно $$-1$$, когда

   $$\frac{\pi}{6}-2x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$-2x=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi k=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,$$

   $$x=-\frac{5\pi}{12}-\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1$$

   Тангенс равен $$-1$$, когда

   $$\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\pi k,$$

   $$x=\pi-2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   Можно записать так:

   $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

3. $$2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\sqrt{3}$$

   Тогда

   $$\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Синус равен $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ при

   $$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   1) $$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi k \Rightarrow -\frac{x}{4}=2\pi k \Rightarrow x=-8\pi k.$$

   2) $$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi k \Rightarrow -\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi k \Rightarrow x=-\frac{4\pi}{3}-8\pi k.$$

4. $$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\sqrt{2}$$

   Тогда

   $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Косинус равен $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ при

   $$\frac{\pi}{4}-3x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

   1) $$\frac{\pi}{4}-3x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \Rightarrow -3x=2\pi k \Rightarrow x=-\frac{2\pi k}{3}.$$

   2) $$\frac{\pi}{4}-3x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \Rightarrow -3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi k}{3}.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{5\pi}{12}-\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
б) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
в) $$x=-8\pi k \text{ или } x=-\frac{4\pi}{3}-8\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$
г) $$x=-\frac{2\pi k}{3} \text{ или } x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb{Z}$$