Упр.22.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) 2cos(x/2-Пи/6) = корень 3 б) корень3 tg(x/3+Пи/6) = 3 в) 2sin(3x-Пи/4) = -корень2 г) sin(x/2-Пи/6) +1 = 0

1. $$2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$

   $$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Тогда

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=2\pi n \pm \frac{\pi}{6}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Рассмотрим оба случая:

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=2\pi n+\frac{\pi}{6} \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi n+\frac{\pi}{3} \Rightarrow x=4\pi n+\frac{2\pi}{3};$$

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=2\pi n-\frac{\pi}{6} \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi n \Rightarrow x=4\pi n.$$

   Ответ:

   $$x=4\pi n \quad \text{или} \quad x=4\pi n+\frac{2\pi}{3}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\sqrt{3}\tan\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=3$$

   $$\tan\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$

   Тогда

   $$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi n$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n.$$

   Ответ:

   $$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}$$

   $$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Тогда

   $$3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Из первого случая:

   $$3x=2\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3}.$$

   Из второго случая:

   $$3x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}.$$

   Ответ:

   $$x=\frac{2\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$$

   $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=-1$$

   Тогда

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

   $$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

   $$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n.$$

   Ответ:

   $$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=4\pi n \text{ или } x=4\pi n+\frac{2\pi}{3}, \quad n\in\mathbb{Z};$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n, \quad n\in\mathbb{Z};$$
в) $$x=\frac{2\pi n}{3} \text{ или } x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb{Z};$$
г) $$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}.$$