Упр.22.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) sin(-x/3) = корень2/2 б) cos(-2x) = -корень3/2 в) tg(-4x) = 1/корень3 г) ctg(-x/2) = 1

1. $$\sin\left(-\frac{x}{3}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Так как $$\sin(-t)=-\sin t,$$ получаем

   $$-\sin\frac{x}{3}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin\frac{x}{3}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{3}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{3}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Умножая на 3, получаем

   $$x=-\frac{3\pi}{4}+6\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{15\pi}{4}+6\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos(-2x)=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Так как $$\cos(-t)=\cos t,$$ имеем

   $$\cos 2x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$2x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg(-4x)=\frac{1}{\sqrt3}$$

   Так как $$\tg(-t)=-\tg t,$$ получаем

   $$-\tg 4x=\frac{1}{\sqrt3}, \qquad \tg 4x=-\frac{1}{\sqrt3}.$$

   Отсюда

   $$4x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Значит,

   $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\qquad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\ctg\left(-\frac{x}{2}\right)=1$$

   Так как $$\ctg(-t)=-\ctg t,$$ имеем

   $$-\ctg\frac{x}{2}=1, \qquad \ctg\frac{x}{2}=-1.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{3\pi}{4}+6\pi n$$ или $$x=\frac{15\pi}{4}+6\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\pm\frac{5\pi}{12}+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},$$ $$n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z$$.