Упр.22.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) tg2 x — 3 = 0; б) 2 tg2 x + 3 tg x = 0; в) 4 tg2 x — 9 = 0; г) 3 tg2 x — 2 tg x = 0.

1. $$\tg^2 x-3=0$$
   $$\tg^2 x=3$$
   $$\tg x=\pm \sqrt{3}$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
2. $$2\tg^2 x+3\tg x=0$$
   $$\tg x(2\tg x+3)=0$$
   Отсюда
   $$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac{3}{2}.$$
   Значит,
   $$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
3. $$4\tg^2 x-9=0$$
   $$4\tg^2 x=9$$
   $$\tg^2 x=\frac{9}{4}$$
   $$\tg x=\pm \frac{3}{2}$$
   Следовательно,
   $$x=\arctg\!\frac{3}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
4. $$3\tg^2 x-2\tg x=0$$
   $$\tg x(3\tg x-2)=0$$
   Отсюда
   $$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=\frac{2}{3}.$$
   Значит,
   $$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\!\frac{2}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

б) $$x=\pi n,\; x=\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

в) $$x=\arctg\!\frac{3}{2}+\pi n,\; x=\arctg\!\left(-\frac{3}{2}\right)+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

г) $$x=\pi n,\; x=\arctg\!\frac{2}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$