Упр.22.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) ctg x = -73; 6) ctg x = -1; в) ctg x = —корень3/3; г) ctg x = -5.

1. $$2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$

   $$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   1) $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

   $$\frac{x}{2}=2\pi n,\qquad x=4\pi n$$

   2) $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

   $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{2\pi}{3}+4\pi n$$

2. $$\sqrt{3}\,\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=3$$

   $$\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$

   $$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   $$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{2}+3\pi n$$

3. $$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}$$

   $$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   1) $$3x=2\pi n,\qquad x=\frac{2\pi n}{3}$$

   2) $$3x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}$$

4. $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$$

   $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=-1$$

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   $$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n$$

Ответ

а) $$x=4\pi n,\; x=\frac{2\pi}{3}+4\pi n$$;
б) $$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n$$;
в) $$x=\frac{2\pi n}{3},\; x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}$$;
г) $$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$.