Упр.22.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) tg x = 1; б) tgx = -корень3/3; в) tg x = -1; г) tgx = корень3/3.

а) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$y^2-6y+5=0.$$

Найдём корни:

$$D=6^2-4\cdot 5=36-20=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Отсюда:

$$y_1=1,\qquad y_2=5.$$

Тогда

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\tg x=5 \Rightarrow x=\arctg 5+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда:

$$y^2-2y-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$

Отсюда:

$$y_1=3,\qquad y_2=-1.$$

Тогда

$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,$$

$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда:

$$y^2+2y-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2+4\cdot 3=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$

Отсюда:

$$y_1=1,\qquad y_2=-3.$$

Тогда

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда:

$$y^2-2y-3=0.$$

Корни уравнения:

$$y_1=3,\qquad y_2=-1.$$

Следовательно,

$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,$$

$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ x=\arctg 5+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \ x=-\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$