Упр.22.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите корни уравнения на заданном промежутке: a) sin x =1/2, x принадлежит (1/2; 11Пи/4) б) sin x =-1/2, x принадлежит (-5Пи/6; 6) в) sin x =корень2/2, x принадлежит (-4; 3) г) sin x =-корень2/2, x принадлежит (-3; 6)

1. $$\ctg x=-\sqrt{3}$$

   Общее решение для котангенса:

   $$x=\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   Так как $$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})=\pi-\operatorname{arcctg}\sqrt{3}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6},$$ то

   $$x=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\ctg x=-1$$

   Тогда

   $$x=\operatorname{arcctg}(-1)+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
   $$x=\pi-\operatorname{arcctg}1+\pi n=\pi-\frac{\pi}{4}+\pi n=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\ctg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Имеем

   $$x=\operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
   $$x=\pi-\operatorname{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n=\pi-\frac{\pi}{3}+\pi n=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\ctg x=-5$$

   Тогда

   $$x=\operatorname{arcctg}(-5)+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
   $$x=\pi-\operatorname{arcctg}5+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

в) $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

г) $$x=\pi-\operatorname{arcctg}5+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$