Упр.22.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) (2 cos x + 1)(2sin x — корень3) = 0; б) 2 cos x — 3 sin x cos x = 0; в) 4 sin2 x — 3 sin x = 0; г) 2 sin2 x — 1 = 0.

1. а) $$\sin^2\frac{3x}{4}-\frac{\sqrt2}{2}=\sin x-\cos^2\frac{3x}{4}+1.$$

   Перенесём слагаемые и используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$:

   $$\sin^2\frac{3x}{4}+\cos^2\frac{3x}{4}-\frac{\sqrt2}{2}=\sin x+1,$$

   $$1-\frac{\sqrt2}{2}=\sin x+1,$$

   $$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$\cos^2 2x-1-\cos x=\frac{\sqrt3}{2}-\sin^2 2x.$$

   Перенесём всё в одну сторону и применим тождество $$\sin^2 2x+\cos^2 2x=1$$:

   $$\cos^2 2x+\sin^2 2x-1-\cos x-\frac{\sqrt3}{2}=0,$$

   $$1-1-\cos x-\frac{\sqrt3}{2}=0,$$

   $$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$4\sin^2 x-3\sin x=0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\sin x(4\sin x-3)=0.$$

   Отсюда

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac34.$$

   Значит,

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) $$2\sin^2 x-1=0.$$

   Тогда

   $$\sin^2 x=\frac12,$$

   $$\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно,

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$