Упр.22.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) sinx=1/4 б) sinx=пи/4 в) sinx=-1/7 г) sinx=Пи/3

а) $$6\sin^2 x+\sin x=2.$$

Положим $$y=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$6y^2+y-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot 6\cdot 2=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{12}.$$

Отсюда

$$y_1=-\frac{2}{3},\qquad y_2=\frac{1}{2}.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sin x=-\frac{2}{3} \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{2}{3}+\pi n,$$

$$\sin x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\cos^2 x=7(\sin x+1).$$

Заменим $$\cos^2 x$$ через $$\sin^2 x$$:

$$3(1-\sin^2 x)=7\sin x+7.$$

После преобразования:

$$3\sin^2 x+7\sin x+4=0.$$

Положим $$y=\sin x$$. Тогда

$$3y^2+7y+4=0.$$

$$D=7^2-4\cdot 3\cdot 4=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 1}{6}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac{4}{3}\quad \text{(не подходит)},\qquad y_2=-1.$$

Значит,

$$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{2}{3}+\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$