Упр.21.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) у = arcsin (x — 1) + Пи/2; б) у = -arcsin (x + 2) — Пи/3

а) Построим график функции $$y=\arcsin x.$$ Затем сдвинем его на $$1$$ единицу вправо вдоль оси $$Ox$$ и на $$\frac{\pi}{2}$$ единиц вверх вдоль оси $$Oy$$. Получаем график функции $$y=\arcsin(x-1)+\frac{\pi}{2}.$$

Область определения: $$x-1\in[-1;1],$$ значит $$x\in[0;2].$$

Опорные точки:

$$x=0 \Rightarrow y=\arcsin(-1)+\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=0,$$

$$x=1 \Rightarrow y=\arcsin 0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2},$$

$$x=2 \Rightarrow y=\arcsin 1+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.$$

Следовательно, график проходит через точки $$\left(0,0\right),\left(1,\frac{\pi}{2}\right),\left(2,\pi\right).$$

б) Построим график функции $$y=\arcsin x.$$ Затем сдвинем его на $$2$$ единицы влево вдоль оси $$Ox$$, отразим относительно оси $$Ox$$ и опустим на $$\frac{\pi}{3}$$ единиц вниз вдоль оси $$Oy$$. Получаем график функции $$y=-\arcsin(x+2)-\frac{\pi}{3}.$$

Область определения: $$x+2\in[-1;1],$$ значит $$x\in[-3;-1].$$

Опорные точки:

$$x=-3 \Rightarrow y=-\arcsin(-1)-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6},$$

$$x=-2 \Rightarrow y=-\arcsin 0-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3},$$

$$x=-1 \Rightarrow y=-\arcsin 1-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=-\frac{5\pi}{6}.$$

Значит, график проходит через точки $$\left(-3,\frac{\pi}{6}\right),\left(-2,-\frac{\pi}{3}\right),\left(-1,-\frac{5\pi}{6}\right).$$

Ответ

а) График $$y=\arcsin(x-1)+\frac{\pi}{2}$$ — это график $$y=\arcsin x,$$ сдвинутый на $$1$$ вправо и на $$\frac{\pi}{2}$$ вверх; $$D=[0;2].$$

б) График $$y=-\arcsin(x+2)-\frac{\pi}{3}$$ — это график $$y=\arcsin x,$$ сдвинутый на $$2$$ влево, отражённый относительно оси $$Ox$$ и сдвинутый на $$\frac{\pi}{3}$$ вниз; $$D=[-3;-1].$$