Упр.21.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) 2×3 — x + 4 = 10×2 + 2 cos (arccos (0,5x — 3)); б) sin (arcsin (5x — 4)) = корень (10x + 16).

Подробный ответ

а) Используем формулу $$\cos(\arccos t)=t$$ при $$-1 \le t \le 1$$:

$$ 2x^3-x+4=10x^2+2\cos(\arccos(0{,}5x-3)) $$
$$ 2x^3-x+4=10x^2+2(0{,}5x-3) $$
$$ 2x^3-x+4=10x^2+x-6 $$
$$ 2x^3-10x^2-2x+10=0 $$
$$ 2x^2(x-5)-2(x-5)=0 $$
$$ 2(x^2-1)(x-5)=0 $$
$$ 2(x-1)(x+1)(x-5)=0 $$
Отсюда $$x=-1,\; x=1,\; x=5$$.

Проверим область определения выражения $$\arccos(0{,}5x-3)$$:

$$ -1 \le 0{,}5x-3 \le 1 $$
$$ 2 \le 0{,}5x \le 4 $$
$$ 4 \le x \le 8 $$

Из найденных корней этому условию удовлетворяет только $$x=5$$.

б) Используем формулу $$\sin(\arcsin t)=t$$ при $$-1 \le t \le 1$$:

$$ \sin(\arcsin(5x-4))=\sqrt{10x+16} $$
$$ 5x-4=\sqrt{10x+16} $$

Возведём обе части в квадрат:

$$ (5x-4)^2=10x+16 $$
$$ 25x^2-40x+16=10x+16 $$
$$ 25x^2-50x=0 $$
$$ 25x(x-2)=0 $$
$$ x=0 \text{ или } x=2 $$

Проверим область определения:

$$ -1 \le 5x-4 \le 1 $$
$$ 3 \le 5x \le 5 $$
$$ 0{,}6 \le x \le 1 $$

Ни одно из найденных значений этому условию не подходит, значит, корней нет.