Упр.21.64 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Ha сколько: а) число ctg (arctg 4) меньше числа tg (arcctg (0,8)); б) число tg2 (arccos (-0,25)) больше числа tg2 (arccos (-0,5)); в) число tg2 (arccos 0,5) меньше числа ctg2 (arcsin1/3); г) число ctg2(arcsin(-0,2)) больше числа tg2 (arccos1/3)

1. $$\ctg(\arctg 4)=\frac{1}{\tg(\arctg 4)}=\frac{1}{4}$$

   $$\tg(\arcctg 0{,}8)=\frac{1}{\ctg(\arcctg 0{,}8)}=\frac{1}{0{,}8}=\frac{5}{4}$$

   Тогда

   $$\frac{5}{4}-\frac{1}{4}=1$$

2. $$\tg^2(\arccos(-0{,}25))=\frac{1-\cos^2(\arccos(-0{,}25))}{\cos^2(\arccos(-0{,}25))}$$

   $$\cos^2(\arccos(-0{,}25))=(-0{,}25)^2=\frac{1}{16}$$

   $$\tg^2(\arccos(-0{,}25))=\frac{1-\frac{1}{16}}{\frac{1}{16}}=\frac{15}{16}\cdot 16=15$$

   Аналогично

   $$\cos^2(\arccos(-0{,}5))=(-0{,}5)^2=\frac{1}{4}$$

   $$\tg^2(\arccos(-0{,}5))=\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}\cdot 4=3$$

   Тогда

   $$15-3=12$$

3. $$\tg^2(\arccos 0{,}5)=\frac{1-\cos^2(\arccos 0{,}5)}{\cos^2(\arccos 0{,}5)}$$

   $$\cos^2(\arccos 0{,}5)=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

   $$\tg^2(\arccos 0{,}5)=\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}\cdot 4=3$$

   $$\ctg^2\left(\arcsin\frac{1}{3}\right)=\frac{1-\sin^2\left(\arcsin\frac{1}{3}\right)}{\sin^2\left(\arcsin\frac{1}{3}\right)}$$

   $$\sin^2\left(\arcsin\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$$

   $$\ctg^2\left(\arcsin\frac{1}{3}\right)=\frac{1-\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}}=\frac{8}{9}\cdot 9=8$$

   Тогда

   $$8-3=5$$

4. $$\ctg^2(\arcsin(-0{,}2))=\frac{1-\sin^2(\arcsin(-0{,}2))}{\sin^2(\arcsin(-0{,}2))}$$

   $$\sin^2(\arcsin(-0{,}2))=(-0{,}2)^2=\frac{1}{25}$$

   $$\ctg^2(\arcsin(-0{,}2))=\frac{1-\frac{1}{25}}{\frac{1}{25}}=\frac{24}{25}\cdot 25=24$$

   $$\tg^2\left(\arccos\frac{1}{3}\right)=\frac{1-\cos^2\left(\arccos\frac{1}{3}\right)}{\cos^2\left(\arccos\frac{1}{3}\right)}$$

   $$\cos^2\left(\arccos\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}$$

   $$\tg^2\left(\arccos\frac{1}{3}\right)=\frac{1-\frac{1}{9}}{\frac{1}{9}}=\frac{8}{9}\cdot 9=8$$

   Тогда

   $$24-8=16$$

Ответ

а) на $$1$$; б) на $$12$$; в) на $$5$$; г) на $$16$$.