Упр.21.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) 8 arcsin2x + 2Пи arcsinx < Пи2; б) 18 arctg2x - ЗПи arctgч > = Пи2; в) 9 arccos2x < = 9Пи arccosx - 2Пи2; г) 16 arcctg2x + ЗПи2 > 16Пи arcctgx

1. $$8\arcsin^2 x+2\pi\arcsin x<\pi^2$$

   Пусть $$y=\arcsin x$$. Тогда

   $$8y^2+2\pi y-\pi^2<0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=(2\pi)^2-4\cdot 8\cdot(-\pi^2)=36\pi^2,$$

   $$y_1=\frac{-2\pi-6\pi}{16}=-\frac{\pi}{2},\qquad y_2=\frac{-2\pi+6\pi}{16}=\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$\left(y+\frac{\pi}{2}\right)\left(y-\frac{\pi}{4}\right)<0,$$

   откуда

   $$-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{4}.$$

   Так как $$y=\arcsin x$$ и $$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x\le \frac{\pi}{2},$$ получаем

   $$-1<x<\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

2. $$18\arctg^2 x-3\pi\arctg x\ge \pi^2$$

   Пусть $$y=\arctg x$$. Тогда

   $$18y^2-3\pi y-\pi^2\ge 0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(3\pi)^2+4\cdot 18\cdot \pi^2=81\pi^2,$$

   $$y_1=\frac{3\pi-9\pi}{36}=-\frac{\pi}{6},\qquad y_2=\frac{3\pi+9\pi}{36}=\frac{\pi}{3}.$$

   Следовательно,

   $$\left(y+\frac{\pi}{6}\right)\left(y-\frac{\pi}{3}\right)\ge 0,$$

   то есть

   $$y\le -\frac{\pi}{6}\quad \text{или}\quad y\ge \frac{\pi}{3}.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$x\le \tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{3}\quad \text{или}\quad x\ge \tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$

3. $$9\arccos^2 x\le 9\pi\arccos x-2\pi^2$$

   Пусть $$y=\arccos x$$. Тогда

   $$9y^2-9\pi y+2\pi^2\le 0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(9\pi)^2-4\cdot 9\cdot 2\pi^2=9\pi^2,$$

   $$y_1=\frac{9\pi-3\pi}{18}=\frac{\pi}{3},\qquad y_2=\frac{9\pi+3\pi}{18}=\frac{2\pi}{3}.$$

   Тогда

   $$\left(y-\frac{\pi}{3}\right)\left(y-\frac{2\pi}{3}\right)\le 0,$$

   откуда

   $$\frac{\pi}{3}\le y\le \frac{2\pi}{3}.$$

   Так как $$y=\arccos x,$$ получаем

   $$\cos\frac{2\pi}{3}\le x\le \cos\frac{\pi}{3},$$

   то есть

   $$-\frac12\le x\le \frac12.$$

4. $$16\arccctg^2 x+3\pi^2>16\pi\arccctg x$$

   Пусть $$y=\arccctg x$$. Тогда

   $$16y^2-16\pi y+3\pi^2>0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(16\pi)^2-4\cdot 16\cdot 3\pi^2=64\pi^2,$$

   $$y_1=\frac{16\pi-8\pi}{32}=\frac{\pi}{4},\qquad y_2=\frac{16\pi+8\pi}{32}=\frac{3\pi}{4}.$$

   Следовательно,

   $$\left(y-\frac{\pi}{4}\right)\left(y-\frac{3\pi}{4}\right)>0,$$

   то есть

   $$y<\frac{\pi}{4}\quad \text{или}\quad y>\frac{3\pi}{4}.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$x>\ctg\frac{\pi}{4}=1\quad \text{или}\quad x<\ctg\frac{3\pi}{4}=-1.$$

Ответ

а) $$-1<x<\frac{\sqrt2}{2}$$; б) $$x\le -\frac{\sqrt3}{3}$$ или $$x\ge \sqrt3$$; в) $$-\frac12\le x\le \frac12$$; г) $$x<-1$$ или $$x>1$$.