Упр.21.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: a) 9 arcsin2x < = Пи2; б) 36 arctg2x > Пи2; в) 16 arccos2x > Пи2; г) 9 arcctg2x < = Пи2.

1. $$9\arcsin^2 x\le \pi^2$$

   Пусть $$y=\arcsin x$$. Тогда

   $$9y^2\le \pi^2$$

   $$-\,\frac{\pi}{3}\le y\le \frac{\pi}{3}$$

   Так как $$y=\arcsin x$$, то

   $$\arcsin x\ge -\,\frac{\pi}{3}\Rightarrow x\ge \sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$$

   и

   $$\arcsin x\le \frac{\pi}{3}\Rightarrow x\le \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}$$

   Следовательно,

   $$-\frac{\sqrt3}{2}\le x\le \frac{\sqrt3}{2}$$

2. $$36\arctg^2 x>\pi^2$$

   Пусть $$y=\arctg x$$. Тогда

   $$36y^2>\pi^2$$

   $$|y|>\frac{\pi}{6}$$

   То есть

   $$\arctg x<-\frac{\pi}{6}\quad \text{или}\quad \arctg x>\frac{\pi}{6}$$

   Отсюда

   $$x<\tg\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{3}$$

   или

   $$x>\tg\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{3}$$

3. $$16\arccos^2 x>\pi^2$$

   Пусть $$y=\arccos x$$. Тогда

   $$16y^2>\pi^2$$

   $$|y|>\frac{\pi}{4}$$

   Но $$\arccos x\in[0,\pi]$$, значит возможно только

   $$\arccos x>\frac{\pi}{4}$$

   Тогда

   $$x<\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

   С учётом области определения $$-1\le x\le 1$$ получаем

   $$-1\le x<\frac{\sqrt2}{2}$$

4. $$9\arcctg^2 x\le \pi^2$$

   Пусть $$y=\arcctg x$$. Тогда

   $$9y^2\le \pi^2$$

   $$-\frac{\pi}{3}\le y\le \frac{\pi}{3}$$

   Так как $$\arcctg x\in(0,\pi)$$, то условие $$\arcctg x\ge -\frac{\pi}{3}$$ выполняется при любом $$x$$, а из

   $$\arcctg x\le \frac{\pi}{3}$$

   получаем

   $$x\ge \ctg\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{3}$$

Ответ

а) $$-\frac{\sqrt3}{2}\le x\le \frac{\sqrt3}{2}$$; б) $$x<-\frac{\sqrt3}{3}$$ или $$x>\frac{\sqrt3}{3}$$; в) $$-1\le x<\frac{\sqrt2}{2}$$; г) $$x\ge \frac{\sqrt3}{3}$$.