Упр.21.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите неравенство: а) arccos x > 3Пи/4; б) arctg x > -Пи/4; в) arcsin x < 3Пи/4 г) arcctg x < = 5Пи/6

1. а) $$\arccos x>\frac{3\pi}{4}$$

   Функция $$\arccos x$$ убывает на $$[-1;1]$$, поэтому

   $$x<\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   С учётом области определения $$-1\le x\le 1$$ получаем

   $$-1\le x<-\frac{\sqrt2}{2}.$$

2. б) $$\arctg x>-\frac{\pi}{4}$$

   Функция $$\arctg x$$ возрастает на всей области определения, значит

   $$x>\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

3. в) $$\arcsin x<\frac{3\pi}{4}$$

   Так как $$\arcsin x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$, а

   $$\frac{3\pi}{4}>\frac{\pi}{2},$$

   то неравенство выполняется для всех $$x$$ из области определения функции:

   $$-1\le x\le 1.$$

4. г) $$\operatorname{arcctg}x\le\frac{5\pi}{6}$$

   Функция $$\operatorname{arcctg}x$$ убывает, поэтому

   $$x\ge \ctg\frac{5\pi}{6}=\ctg\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\ctg\frac{\pi}{6}=-\sqrt3.$$

Ответ

а) $$-1\le x<-\frac{\sqrt2}{2}$$; б) $$x>-1$$; в) $$-1\le x\le 1$$; г) $$x\ge -\sqrt3$$.