Упр.21.59 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) arccos x = arctg x; б) arccos x = arcsin x; в) arcctg x = arctg x; r) arcsin x = arcctg x.

Подробный ответ

а) $$\arccos x=\arctg x$$
Возведём в тангенс обе части:
$$\tg(\arccos x)=\tg(\arctg x)$$
$$\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=x$$
$$\sqrt{1-x^2}=x^2$$
$$1-x^2=x^4$$
Положим $$y=x^2$$. Тогда
$$y^2+y-1=0$$
$$D=1+4=5$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$
Подходит только положительный корень:
$$x^2=\frac{\sqrt5-1}{2}$$
$$x=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}$$
б) $$\arccos x=\arcsin x$$
Возведём в косинус обе части:
$$\cos(\arccos x)=\cos(\arcsin x)$$
$$x=\sqrt{1-x^2}$$
$$x^2=1-x^2$$
$$2x^2=1$$
$$x^2=\frac12$$
$$x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$
Так как $$\arccos x\in[0,\pi]$$ и $$\arcsin x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$, равенство возможно только при $$x\ge 0$$.
Значит, $$x=\frac{\sqrt2}{2}$$.
в) $$\arcctg x=\arctg x$$
Возведём в синус обе части:
$$\sin(\arcctg x)=\sin(\arctg x)$$
$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$
$$x=1$$
г) $$\arcsin x=\arcctg x$$
Возведём в котангенс обе части:
$$\ctg(\arcsin x)=\ctg(\arcctg x)$$
$$\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=x$$
$$\sqrt{1-x^2}=x^2$$
$$1-x^2=x^4$$
Положим $$y=x^2$$. Тогда
$$y^2+y-1=0$$
$$D=5$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}$$
Подходит только положительный корень:
$$x^2=\frac{\sqrt5-1}{2}$$
$$x=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}$$