Упр.21.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: а) arcsin (2x+3 1/3)=arcsin(-2x/9) б) arctg (x2 — 9) = arctg 8x; в) arccos (3x + 1) = arccos (2x + 5); г) arcctg (x2 — x) = arcctg (4x — 6).

1. $$\arcsin\left(2x+3\frac{1}{3}\right)=\arcsin\left(-\frac{2x}{9}\right)$$

   Так как функция $$\arcsin t$$ взаимно однозначна на своей области определения, то

   $$2x+3\frac{1}{3}=-\frac{2x}{9}.$$

   Преобразуем:

   $$2x+\frac{10}{3}=-\frac{2x}{9}$$

   $$18x+30=-2x$$

   $$20x=-30$$

   $$x=-\frac{3}{2}.$$

   Проверка области определения: при $$x=-\frac{3}{2}$$ аргументы арксинусов принадлежат отрезку $$[-1;1]$$, значит корень подходит.

2. $$\arctg(x^2-9)=\arctg 8x$$

   Функция $$\arctg t$$ взаимно однозначна, поэтому

   $$x^2-9=8x.$$

   Получаем квадратное уравнение:

   $$x^2-8x-9=0.$$

   $$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100.$$

   $$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}.$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=9.$$

3. $$\arccos(3x+1)=\arccos(2x+5)$$

   Так как функция $$\arccos t$$ взаимно однозначна на своей области определения, то

   $$3x+1=2x+5.$$

   Отсюда

   $$x=4.$$

   Проверим область определения:

   $$3\cdot 4+1=13>1,$$

   значит значение $$3x+1$$ не принадлежит отрезку $$[-1;1]$$. Следовательно, корней нет.

4. $$\operatorname{arcctg}(x^2-x)=\operatorname{arcctg}(4x-6)$$

   Функция $$\operatorname{arcctg} t$$ взаимно однозначна, поэтому

   $$x^2-x=4x-6.$$

   Получаем:

   $$x^2-5x+6=0.$$

   $$D=25-24=1.$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}.$$

   $$x_1=2,\quad x_2=3.$$

Ответ

а) $$-\frac{3}{2}$$; б) $$-1,\ 9$$; в) корней нет; г) $$2,\ 3$$.