Упр.21.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) 8 arcsin2 x + 2Пи arcsin x = Пи2; б) 18 arctg2 x — 3Пи arctg x = Пи2; в) 18 arccos2 x = 3Пи arccos x + Пи2; г) 16 arcctg2 x + 3Пи2 = 16Пи arcctg x.

Подробный ответ

Пусть $$y=\arcsin x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:
$$8y^2+2\pi y-\pi^2=0.$$
Найдём корни:
$$D=(2\pi)^2-4\cdot 8\cdot(-\pi^2)=4\pi^2+32\pi^2=36\pi^2,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pi\pm 6\pi}{16}.$$
Тогда
$$y_1=-\frac{\pi}{2}, \qquad y_2=\frac{\pi}{4}.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\arcsin x=-\frac{\pi}{2}\Rightarrow x=\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1,$$
$$\arcsin x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow x=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Пусть $$y=\arctg x$$. Тогда:
$$18y^2-3\pi y-\pi^2=0.$$
Дискриминант:
$$D=(3\pi)^2-4\cdot 18\cdot(-\pi^2)=9\pi^2+72\pi^2=81\pi^2.$$
Корни:
$$y_{1,2}=\frac{3\pi\pm 9\pi}{36}.$$
Получаем
$$y_1=-\frac{\pi}{6}, \qquad y_2=\frac{\pi}{3}.$$
Тогда
$$\arctg x=-\frac{\pi}{6}\Rightarrow x=\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt3}{3},$$
$$\arctg x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$
Пусть $$y=\arccos x$$. Тогда:
$$18y^2-3\pi y-\pi^2=0.$$
Как и в предыдущем пункте,
$$y_1=-\frac{\pi}{6}, \qquad y_2=\frac{\pi}{3}.$$
Но $$\arccos x\in[0;\pi]$$, значит значение $$-\frac{\pi}{6}$$ не подходит.
Остаётся:
$$\arccos x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow x=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$
Пусть $$y=\arcctg x$$. Тогда:
$$16y^2-16\pi y+3\pi^2=0.$$
Дискриминант:
$$D=(16\pi)^2-4\cdot 16\cdot 3\pi^2=256\pi^2-192\pi^2=64\pi^2.$$
Корни:
$$y_{1,2}=\frac{16\pi\pm 8\pi}{32}.$$
Получаем
$$y_1=\frac{\pi}{4}, \qquad y_2=\frac{3\pi}{4}.$$
Тогда
$$\arcctg x=\frac{\pi}{4}\Rightarrow x=\ctg\frac{\pi}{4}=1,$$
$$\arcctg x=\frac{3\pi}{4}\Rightarrow x=\ctg\frac{3\pi}{4}=-1.$$