Упр.21.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Решите уравнение: a) arcsin (3х2 — 5x + 1) = Пи/2; б) arctg (x3 — 27 — 73) = -Пи/3; в) arccos (Зх2 — 10x + 2,5) = 2Пи/3; г) arcctg (x3 — 8×2 + 15x + 1) = Пи/4.

1. $$\arcsin(3x^2-5x+1)=\frac{\pi}{2}$$

   Тогда

   $$3x^2-5x+1=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

   Получаем

   $$3x^2-5x=0$$

   $$x(3x-5)=0.$$

   Отсюда

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{5}{3}.$$

2. $$\arctg(x^3-27-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$$

   Тогда

   $$x^3-27-\sqrt{3}=\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}.$$

   Следовательно,

   $$x^3-27=0,$$

   $$x^3=27,$$

   $$x=3.$$

3. $$\arccos(3x^2-10x+2{,}5)=\frac{2\pi}{3}$$

   Тогда

   $$3x^2-10x+2{,}5=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}.$$

   Получаем

   $$3x^2-10x+3=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$

   $$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2\cdot 3}.$$

   Тогда

   $$x_1=\frac{1}{3}, \quad x_2=3.$$

4. $$\arcctg(x^3-8x^2+15x+1)=\frac{\pi}{4}$$

   Тогда

   $$x^3-8x^2+15x+1=\ctg\frac{\pi}{4}=1.$$

   Следовательно,

   $$x^3-8x^2+15x=0,$$

   $$x(x^2-8x+15)=0,$$

   $$x(x-3)(x-5)=0.$$

   Отсюда

   $$x=0,\; 3,\; 5.$$

Ответ

а) $$0;\ \frac{5}{3}$$; б) $$3$$; в) $$\frac{1}{3};\ 3$$; г) $$0;\ 3;\ 5$$.