Упр.21.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) у = arccos (cos x); б) у = arctg (tg x).

а) Рассмотрим функцию $$y=\arccos(\cos x).$$

Так как $$\cos(x+2\pi)=\cos x,$$ то функция периодическая с периодом $$T=2\pi.$$

Кроме того, $$\cos(-x)=\cos x,$$ значит, $$y(-x)=\arccos(\cos(-x))=\arccos(\cos x)=y(x),$$ то есть функция чётная.

На отрезке $$[0;\pi]$$ имеем $$\arccos(\cos x)=x,$$ поэтому на этом промежутке график совпадает с прямой $$y=x.$$

Далее, с учётом чётности и периодичности, получаем ломаную с вершинами в точках $$\left(0,0\right),\left(\pi,\pi\right),\left(2\pi,0\right),\left(-\pi,\pi\right),\left(-2\pi,0\right),\dots$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\arctg(\tg x).$$

Так как $$\tg(x+\pi)=\tg x,$$ то функция периодическая с периодом $$T=\pi.$$

Кроме того, $$\tg(-x)=-\tg x,$$ а значит,
$$y(-x)=\arctg(\tg(-x))=\arctg(-\tg x)=-\arctg(\tg x)=-y(x),$$
то есть функция нечётная.

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ выполняется тождество $$\arctg(\tg x)=x,$$ поэтому здесь график — часть прямой $$y=x.$$

Область определения:
$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, весь график состоит из отрезков прямой $$y=x$$ на промежутках
$$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z,$$
с разрывами в точках $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Ответ

а) График функции $$y=\arccos(\cos x)$$ — чётная периодическая с периодом $$2\pi$$ ломаная, совпадающая на $$[0;\pi]$$ с графиком $$y=x$$.

б) График функции $$y=\arctg(\tg x)$$ — нечётная периодическая с периодом $$\pi$$ функция, совпадающая на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$ с графиком $$y=x$$.