Упр.21.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) y=arccos x + arccos (-x); б) y=arccos1/x+arccos(-1/x) в) y=arcctg x + arcctg(-x) г) y=arcctg (корень x) + arcctg (-корень x);

Используем свойства обратных тригонометрических функций:

$$\arccos(-x)=\pi-\arccos x,$$
$$\arccos\frac{-1}{x}=\pi-\arccos\frac{1}{x},$$
$$\operatorname{arcctg}(-x)=\pi-\operatorname{arcctg}x,$$
$$\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})=\pi-\operatorname{arcctg}\sqrt{x}.$$

1. $$y=\arccos x+\arccos(-x)=\arccos x+\pi-\arccos x=\pi.$$

   Область определения:

   $$-1\le x\le 1.$$

   Значит, график — отрезок прямой $$y=\pi$$ при $$x\in[-1;1].$$

2. $$y=\arccos\frac{1}{x}+\arccos\left(-\frac{1}{x}\right)=\arccos\frac{1}{x}+\pi-\arccos\frac{1}{x}=\pi.$$

   Область определения:

   $$-1\le \frac{1}{x}\le 1,$$
   $$x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

   Следовательно, график — две части прямой $$y=\pi$$ при $$x\le -1$$ и $$x\ge 1.$$

3. $$y=\operatorname{arcctg}x+\operatorname{arcctg}(-x)=\operatorname{arcctg}x+\pi-\operatorname{arcctg}x=\pi.$$

   Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$

   График — горизонтальная прямая $$y=\pi$$ на всей числовой оси.

4. $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\pi-\operatorname{arcctg}\sqrt{x}=\pi.$$

   Область определения:

   $$x\ge 0.$$

   График — луч прямой $$y=\pi$$ при $$x\ge 0.$$

Ответ

а) $$y=\pi,\ -1\le x\le 1$$;
б) $$y=\pi,\ x\le -1 \text{ или } x\ge 1$$;
в) $$y=\pi,\ x\in\mathbb{R}$$;
г) $$y=\pi,\ x\ge 0$$.