Упр.21.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Докажите, что а) sin (arctg x) = x/(корень(1+x2)) б) tg (arcsin x) = x/(корень(1-x2)) в) sin (arcctg x) = x/(корень(1+x2)) г) tg (arccos x) = (корень(1-x2)/x)

1. Пусть $$t=\arctg x.$$ Тогда $$\tg t=x,$$ а так как $$-\frac{\pi}{2}

   Из тождества $$1+\tg^2 t=\frac{1}{\cos^2 t}$$ получаем

   $$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

   Тогда

   $$\sin(\arctg x)=\sin t=\tg t\cdot \cos t=x\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

2. Пусть $$t=\arcsin x.$$ Тогда $$\sin t=x,$$ а так как $$-\frac{\pi}{2}\le t\le \frac{\pi}{2},$$ то $$\cos t>0.$$

   Из тождества $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ имеем

   $$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-x^2}.$$

   Следовательно,

   $$\tg(\arcsin x)=\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

3. Пусть $$t=\arcctg x.$$ Тогда $$\ctg t=x,$$ а так как $$0<t<\pi,$$ то $$\sin t>0.$$

   Из тождества $$1+\ctg^2 t=\frac{1}{\sin^2 t}$$ получаем

   $$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

   Тогда

   $$\cos(\arcctg x)=\cos t=\ctg t\cdot \sin t=x\cdot \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

4. Пусть $$t=\arccos x.$$ Тогда $$\cos t=x,$$ а так как $$0\le t\le \pi,$$ то $$\sin t\ge 0.$$

   Из тождества $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ имеем

   $$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-x^2}.$$

   Следовательно,

   $$\tg(\arccos x)=\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.$$

Ответ

$$\sin(\arctg x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\quad \tg(\arcsin x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},\quad \sin(\arcctg x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\quad \tg(\arccos x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}.$$