Упр.21.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) sin(arctg3/4) б) cos(arcctg12/5) в) sin(arcctg(-4/3) г) cos(arctg(-5/12)

1. $$\sin\left(\arctg\frac{3}{4}\right)$$

   Пусть $$t=\arctg\frac{3}{4}$$, тогда $$\tg t=\frac{3}{4}$$ и $$t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$, значит $$\cos t>0$$.

   Используем формулу:

   $$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=\frac{4}{5}$$

   Тогда

   $$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}$$

2. $$\cos\left(\arcctg\frac{12}{5}\right)$$

   Пусть $$t=\arcctg\frac{12}{5}$$, тогда $$\ctg t=\frac{12}{5}$$ и $$t\in(0,\pi)$$, значит $$\sin t>0$$.

   Найдём синус:

   $$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=\frac{5}{13}$$

   Тогда

   $$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{12}{13}$$

3. $$\sin\left(\arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

   Пусть $$t=\arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)$$, тогда $$\ctg t=-\frac{4}{3}$$ и $$t\in(0,\pi)$$, значит $$\sin t>0$$.

   Найдём синус:

   $$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{4}{3}\right)^2}}=\frac{3}{5}$$

4. $$\cos\left(\arctg\left(-\frac{5}{12}\right)\right)$$

   Пусть $$t=\arctg\left(-\frac{5}{12}\right)$$, тогда $$\tg t=-\frac{5}{12}$$ и $$t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$, значит $$\cos t>0$$.

   Используем формулу:

   $$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{5}{12}\right)^2}}=\frac{12}{13}$$

Ответ

а) $$\frac{3}{5}$$; б) $$\frac{12}{13}$$; в) $$\frac{3}{5}$$; г) $$\frac{12}{13}$$.