Упр.21.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) у = |arctgx|; б) у = arcctg |х|; в) у = -2 arcctg|x|; г) у = arctgx + Пи/6
а) $$y=|\arctg x|$$
Сначала строим график функции $$y=\arctg x$$. Затем часть графика, лежащую ниже оси $$Ox$$, отражаем относительно оси $$Ox$$.
Так как $$\arctg x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то
$$E(y)=\left[0,\frac{\pi}{2}\right).$$
б) $$y=\operatorname{arcctg}|x|$$
Строим график функции $$y=\operatorname{arcctg}x$$. Затем убираем часть графика слева от оси $$Oy$$ и отражаем оставшуюся часть относительно оси $$Oy$$.
Так как $$\operatorname{arcctg}x\in(0,\pi),$$ то
$$E(y)=\left(0,\pi\right).$$
в) $$y=-2\,\operatorname{arcctg}|x|$$
Строим график функции $$y=\operatorname{arcctg}x$$, затем отражаем его относительно оси $$Ox$$, убираем часть слева от оси $$Oy$$, отражаем оставшуюся часть относительно оси $$Oy$$ и растягиваем график от оси $$Ox$$ в 2 раза.
Так как $$\operatorname{arcctg}|x|\in\left(0,\pi\right),$$ то после умножения на $$-2$$ получаем
$$E(y)=(-2\pi,0).$$
г) $$y=\arctg x+\frac{\pi}{6}$$
График функции $$y=\arctg x$$ сдвигаем вверх на $$\frac{\pi}{6}$$.
Так как $$\arctg x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то
$$E(y)=\left(-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right).$$
Ответ
а) график $$y=|\arctg x|$$ получается отражением нижней части графика $$y=\arctg x$$ относительно оси $$Ox$$, $$E(y)=\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$$;
б) график $$y=\operatorname{arcctg}|x|$$ получается отражением правой части графика $$y=\operatorname{arcctg}x$$ относительно оси $$Oy$$, $$E(y)=\left(0,\pi\right)$$;
в) график $$y=-2\,\operatorname{arcctg}|x|$$ получается указанными преобразованиями, $$E(y)=(-2\pi,0)$$;
г) график $$y=\arctg x+\frac{\pi}{6}$$ — это график $$y=\arctg x$$, сдвинутый вверх на $$\frac{\pi}{6}$$, $$E(y)=\left(-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right)$$.
