Упр.21.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте и прочитайте график функции: а) система y=arctgx, если x < =0 и корень x, если x > 0 б) система y=arctgx, если x < =1 и arctgx, есди x > 1

а) $$y=\begin{cases}\arctg x, & x\le 0,\\ \sqrt{x}, & x>0.\end{cases}$$

При $$x\le 0$$ строим график функции $$y=\arctg x$$. Она проходит через точку $$\left(0;0\right)$$ и при $$x\to -\infty$$ стремится к прямой $$y=-\dfrac{\pi}{2}$$.

При $$x>0$$ строим график функции $$y=\sqrt{x}$$. Для него удобно взять точки:

График всей функции состоит из левой ветви $$y=\arctg x$$ при $$x\le 0$$ и правой ветви $$y=\sqrt{x}$$ при $$x>0$$, они соединяются в точке $$\left(0;0\right)$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=\left(-\dfrac{\pi}{2};+\infty\right)$$;
• функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
• $$f(x)>0$$ на $$\left(0;+\infty\right)$$;
• $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;0)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не является периодической.

б) $$y=\begin{cases}\operatorname{arcctg} x, & x\le 1,\\ \arctg x, & x>1.\end{cases}$$

При $$x\le 1$$ строим график функции $$y=\operatorname{arcctg} x$$. Так как $$\operatorname{arcctg}1=\dfrac{\pi}{4}$$, то в точке $$x=1$$ получаем значение $$y=\dfrac{\pi}{4}$$.

При $$x>1$$ строим график функции $$y=\arctg x$$. Здесь $$\arctg 1=\dfrac{\pi}{4}$$, поэтому обе части соединяются в точке $$\left(1;\dfrac{\pi}{4}\right)$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=\left[\dfrac{\pi}{4};+\infty\right)$$;
• функция убывает на $$(-\infty;1]$$;
• функция возрастает на $$[1;+\infty)$$;
• $$f(x)>0$$ на $$(-\infty;+\infty)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не является периодической.

Ответ

а) График состоит из $$y=\arctg x$$ при $$x\le 0$$ и $$y=\sqrt{x}$$ при $$x>0$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=\left(-\dfrac{\pi}{2};+\infty\right)$$.

б) График состоит из $$y=\operatorname{arcctg} x$$ при $$x\le 1$$ и $$y=\arctg x$$ при $$x>1$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=\left[\dfrac{\pi}{4};+\infty\right)$$.