Упр.21.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) у = arctg 3x; б) у = arctg x/2 — Пи/6; в) у — arcctg 3x/4; г) у = arcctg 2(x — 1).
Для функции $$y=\operatorname{arctg}x$$ известен базовый график: он проходит через точку $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ и имеет горизонтальные асимптоты $$y=\pm\frac{\pi}{2}.$$
При замене $$x \to 3x$$ график сжимается к оси $$Oy$$ в 3 раза.
Значит, для $$y=\operatorname{arctg}3x$$ получаем тот же график, но более крутой.
Функция $$y=\operatorname{arctg}\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}$$ получается из графика $$y=\operatorname{arctg}x$$ так:
- растяжение от оси $$Oy$$ в 2 раза;
- сдвиг вниз на $$\frac{\pi}{6}.$$
Точка $$\left(0;0\right)$$ переходит в точку $$\left(0;-\frac{\pi}{6}\right).$$
Для $$y=\operatorname{arcctg}x$$ график убывает, проходит через точку $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ и имеет горизонтальные асимптоты $$y=0$$ и $$y=\pi.$$
При замене $$x \to \frac{3x}{4}$$ график растягивается от оси $$Oy$$ в $$\frac{4}{3}$$ раза.
Следовательно, график $$y=\operatorname{arcctg}\frac{3x}{4}$$ — это график $$y=\operatorname{arcctg}x$$, растянутый по оси абсцисс в $$\frac{4}{3}$$ раза.
Функция $$y=\operatorname{arcctg}2(x-1)$$ получается из графика $$y=\operatorname{arcctg}x$$ так:
- сжатие к оси $$Oy$$ в 2 раза;
- сдвиг вправо на 1.
График проходит через точку $$\left(1;\frac{\pi}{2}\right).$$
Ответ
а) график $$y=\operatorname{arctg}3x$$ — график $$y=\operatorname{arctg}x$$, сжатый к оси $$Oy$$ в 3 раза;
б) график $$y=\operatorname{arctg}\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}$$ — график $$y=\operatorname{arctg}x$$, растянутый от оси $$Oy$$ в 2 раза и сдвинутый вниз на $$\frac{\pi}{6}$$;
в) график $$y=\operatorname{arcctg}\frac{3x}{4}$$ — график $$y=\operatorname{arcctg}x$$, растянутый от оси $$Oy$$ в $$\frac{4}{3}$$ раза;
г) график $$y=\operatorname{arcctg}2(x-1)$$ — график $$y=\operatorname{arcctg}x$$, сжатый к оси $$Oy$$ в 2 раза и сдвинутый вправо на 1.
