Упр.21.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) у — 0,5 arctg x; б) у = 2Пи/3 — arcctg x; в) у = -1/3 arcctg x; г) у = 1,5 arctg (x + 2).

Используем график функции $$y=\operatorname{arctg}x$$ и выполняем указанные преобразования.

1. а) $$y=0{,}5\operatorname{arctg}x$$

   Это сжатие графика $$y=\operatorname{arctg}x$$ к оси $$Ox$$ в 2 раза.

2. б) $$y=\frac{2\pi}{3}-\operatorname{arcctg}x$$

   Так как $$\operatorname{arcctg}x=\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}x,$$ то

   $$ y=\frac{2\pi}{3}-\left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}x\right) =\operatorname{arctg}x+\frac{\pi}{6}. $$

   Значит, график $$y=\operatorname{arctg}x$$ нужно сдвинуть вверх на $$\frac{\pi}{6}$$.

3. в) $$y=-\frac{1}{3}\operatorname{arcctg}x$$

   Сначала отражаем график $$y=\operatorname{arcctg}x$$ относительно оси $$Ox$$, затем сжимаем его к оси $$Ox$$ в 3 раза.

4. г) $$y=1{,}5\operatorname{arctg}(x+2)$$

   График $$y=\operatorname{arctg}x$$ сдвигаем на 2 единицы влево, затем растягиваем от оси $$Ox$$ в 1,5 раза.

Ответ

а) график $$y=\operatorname{arctg}x$$, сжатый к оси $$Ox$$ в 2 раза;

б) график $$y=\operatorname{arctg}x$$, сдвинутый вверх на $$\frac{\pi}{6}$$;

в) график $$y=\operatorname{arcctg}x$$, отражённый относительно оси $$Ox$$ и сжатый к оси $$Ox$$ в 3 раза;

г) график $$y=\operatorname{arctg}x$$, сдвинутый на 2 единицы влево и растянутый от оси $$Ox$$ в 1,5 раза.