Упр.21.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) у = arctg (-x); в) у = -arcctg x; б) у = arcctg (-x); г) у = -arctg (-x).

Используем свойства графиков обратных тригонометрических функций.

Если заменить аргумент на противоположный, то график отражается относительно оси ординат. Если перед функцией поставить знак «минус», то график отражается относительно оси абсцисс.

1. а) $$y=\operatorname{arctg}(-x)$$

   График функции $$y=\operatorname{arctg}x$$ отражаем относительно оси ординат.

   Получаем убывающую кривую, проходящую через точку $$\left(0,0\right)$$, с горизонтальными асимптотами $$y=\frac{\pi}{2}$$ и $$y=-\frac{\pi}{2}$$.

2. б) $$y=\operatorname{arcctg}(-x)$$

   График функции $$y=\operatorname{arcctg}x$$ отражаем относительно оси ординат.

   Получаем возрастающую кривую, проходящую через точку $$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$, с горизонтальными асимптотами $$y=\pi$$ и $$y=0$$.

3. в) $$y=-\operatorname{arcctg}x$$

   График функции $$y=\operatorname{arcctg}x$$ отражаем относительно оси абсцисс.

   Получаем возрастающую кривую, проходящую через точку $$\left(0,-\frac{\pi}{2}\right)$$.

4. г) $$y=-\operatorname{arctg}(-x)$$

   Так как $$\operatorname{arctg}(-x)=-\operatorname{arctg}x$$, то

   $$y=-\operatorname{arctg}(-x)=\operatorname{arctg}x.$$

   Значит, это обычный график функции $$y=\operatorname{arctg}x$$: возрастающая кривая, проходящая через точку $$\left(0,0\right)$$, с асимптотами $$y=\frac{\pi}{2}$$ и $$y=-\frac{\pi}{2}$$.

Ответ

а) график $$y=\operatorname{arctg}x$$, отражённый относительно оси ординат;
б) график $$y=\operatorname{arcctg}x$$, отражённый относительно оси ординат;
в) график $$y=\operatorname{arcctg}x$$, отражённый относительно оси абсцисс;
г) $$y=\operatorname{arctg}x$$.