Упр.21.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область значений функции: а) у = 2 arctg x; в) у = 1,5 arcctg x — Пи/2 б) У = -1/2 arcctg x; г) у = Пи — 2 arctg x.

Используем области значений функций arctg и arcctg:

$$-\frac{\pi}{2} < \arctg x < \frac{\pi}{2}, \qquad 0 < \arcctg x < \pi.$$

1. $$y=2\arctg x.$$

   $$-\frac{\pi}{2} < \arctg x < \frac{\pi}{2}$$
   $$-\pi < 2\arctg x < \pi$$

   Следовательно,

   $$y \in (-\pi;\,\pi).$$

2. $$y=-\frac12 \arcctg x.$$

   $$0 < \arcctg x < \pi$$
   $$-\pi < -\arcctg x < 0$$
   $$-\frac{\pi}{2} < -\frac12 \arcctg x < 0$$

   Следовательно,

   $$y \in \left(-\frac{\pi}{2};\,0\right).$$

3. $$y=1{,}5\,\arcctg x-\frac{\pi}{2}.$$

   $$0 < \arcctg x < \pi$$
   $$0 < 1{,}5\,\arcctg x < \frac{3\pi}{2}$$
   $$-\frac{\pi}{2} < 1{,}5\,\arcctg x-\frac{\pi}{2} < \pi$$

   Следовательно,

   $$y \in \left(-\frac{\pi}{2};\,\pi\right).$$

4. $$y=\pi-2\arctg x.$$

   $$-\frac{\pi}{2} < \arctg x < \frac{\pi}{2}$$
   $$-\pi < -2\arctg x < \pi$$
   $$0 < \pi-2\arctg x < 2\pi$$

   Следовательно,

   $$y \in (0;\,2\pi).$$

Ответ

а) $$(-\pi;\,\pi)$$; б) $$\left(-\frac{\pi}{2};\,0\right)$$; в) $$\left(-\frac{\pi}{2};\,\pi\right)$$; г) $$\left(0;\,2\pi\right).$$