Упр.21.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Исследуйте функцию на четность: а) у = arctgx/x4 б) у = sin2 x + x arctg x; в) у = arcsin x + arcctg x; г) у = 2 arcctg x + x5 — 3 arcsin 2x.
а) $$y=\frac{\operatorname{arctg}x}{x^4}$$
$$y(-x)=\frac{\operatorname{arctg}(-x)}{(-x)^4}=\frac{-\operatorname{arctg}x}{x^4}=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.б) $$y=\sin^2 x+x\operatorname{arctg}x$$
$$y(-x)=\sin^2(-x)+(-x)\operatorname{arctg}(-x)=\sin^2 x+x\operatorname{arctg}x=y(x).$$
Следовательно, функция чётная.в) $$y=\arcsin x+\operatorname{arcctg}x$$
$$y(-x)=\arcsin(-x)+\operatorname{arcctg}(-x)=-\arcsin x+\pi-\operatorname{arcctg}x.$$
Это не равно ни $$y(x)=\arcsin x+\operatorname{arcctg}x,$$ ни $$-y(x)=-\arcsin x-\operatorname{arcctg}x.$$
Значит, функция ни чётная, ни нечётная.г) $$y=2\operatorname{arcctg}x+x^5-3\arcsin 2x$$
$$y(-x)=2\operatorname{arcctg}(-x)+(-x)^5-3\arcsin(-2x)$$
$$=2(\pi-\operatorname{arcctg}x)-x^5+3\arcsin 2x$$
$$=2\pi-2\operatorname{arcctg}x-x^5+3\arcsin 2x.$$
Это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x),$$ значит функция ни чётная, ни нечётная.
Ответ
а) нечётная; б) чётная; в) ни чётная, ни нечётная; г) ни чётная, ни нечётная.
