Упр.21.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область определения функции: а) у = arcsin x + arctg x; б) у = arcctg корень x + arccos x/2; в) у — arctg 1/x — arccos (2x — 0,5); г) у = arcsin (x2 — 1) + arctg 2x + arcctg (x-1)

1. Для $$y=\arcsin x+\arctg x$$ нужно, чтобы были определены оба слагаемых.

   $$-1 \le x \le 1,$$

   а для $$\arctg x$$ ограничений нет.

   Значит,

   $$D(y)=[-1;1].$$

2. Для $$y=\arcctg \sqrt{x}+\arccos \frac{x}{2}$$ имеем:

   $$\sqrt{x}\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 0,$$

   и

   $$-1 \le \frac{x}{2} \le 1 \;\Rightarrow\; -2 \le x \le 2.$$

   Пересекаем условия:

   $$D(y)=[0;2].$$

3. Для $$y=\arctg \frac{1}{x}-\arccos(2x-0{,}5)$$ нужно:

   $$x\ne 0,$$

   и

   $$-1 \le 2x-0{,}5 \le 1.$$

   Решим неравенство:

   $$ -1 \le 2x-0{,}5 \le 1 \\ -0{,}5 \le 2x \le 1{,}5 \\ -\frac14 \le x \le \frac34 $$

   С учётом $$x\ne 0$$ получаем:

   $$D(y)=\left[-\frac14;0\right)\cup\left(0;\frac34\right].$$

4. Для $$y=\arcsin(x^2-1)+\arctg 2x+\arcctg(x-1)$$:

   $$-1 \le x^2-1 \le 1,$$

   откуда

   $$0 \le x^2 \le 2,$$

   то есть

   $$-\sqrt2 \le x \le \sqrt2.$$

   Функции $$\arctg 2x$$ и $$\arcctg(x-1)$$ определены при всех $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому дополнительных ограничений нет.

   Следовательно,

   $$D(y)=[-\sqrt2;\sqrt2].$$

Ответ

а) $$[-1;1]$$; б) $$[0;2]$$; в) $$\left[-\frac14;0\right)\cup\left(0;\frac34\right]$$; г) $$[-\sqrt2;\sqrt2]$$.