Упр.21.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: a) tg (arcctg 1); б) sin (arcctg корень3); в) cos (arcctg (-1)); г) ctg (2 arcctg(-1/корень3)

Используем значения обратных тригонометрических функций:

$$\operatorname{arcctg} 1=\frac{\pi}{4}, \qquad \operatorname{arcctg}\sqrt{3}=\frac{\pi}{6}, \qquad \operatorname{arcctg}(-1)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}, \qquad \operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.$$

1. $$\tg(\operatorname{arcctg} 1)=\tg\frac{\pi}{4}=1.$$

2. $$\sin(\operatorname{arcctg}\sqrt{3})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.$$

3. $$\cos(\operatorname{arcctg}(-1))=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

4. $$\ctg\left(2\operatorname{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)=\ctg\left(2\cdot\frac{2\pi}{3}\right)=\ctg\frac{4\pi}{3}.$$

   Так как $$\ctg\frac{4\pi}{3}=\ctg\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\ctg\frac{\pi}{3},$$ то
   $$\ctg\frac{4\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ

$$1;\ \frac{1}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{3}.$$