Упр.21.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: а) arctg(-1)+arctg(-1) б) arcsin(-корень2/2)+arctg(-корень3) в) arcctg(-корень 3/3)-arctg(корень3/3) г) arccos(-1/2)-arcctg(-корень3)

Используем значения обратных тригонометрических функций:

$$\arctg 1=\frac{\pi}{4}, \quad \arctg \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}, \quad \arctg \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6},$$
$$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}, \quad \arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}, \quad \arcctg 1=\frac{\pi}{4}, \quad \arcctg \sqrt{3}=\frac{\pi}{6}.$$

1. $$\arcctg(-1)+\arctg(-1)=\left(\pi-\arcctg 1\right)-\arctg 1$$
   $$=\pi-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$$

2. $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\arcctg(-\sqrt{3})=-\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(\pi-\arcctg\sqrt{3}\right)$$
   $$=-\frac{\pi}{4}+\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{12}.$$

3. $$\arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)-\arctg\frac{\sqrt{3}}{3}=\left(\pi-\arcctg\frac{\sqrt{3}}{3}\right)-\arctg\frac{\sqrt{3}}{3}$$
   $$=\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}.$$

4. $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)-\arcctg(-\sqrt{3})=\left(\pi-\arccos\frac{1}{2}\right)-\left(\pi-\arcctg\sqrt{3}\right)$$
   $$=\pi-\frac{\pi}{3}-\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2};\ \frac{7\pi}{12};\ \frac{\pi}{2};\ -\frac{\pi}{6}$$