Упр.21.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область определения функции: а) у = arcsin x; б) у = arcsin (5 — 2x); в) y = arcsin x/2 г) у = arcsin (x2 — 3).

Функция $$y=\arcsin t$$ определена тогда и только тогда, когда $$-1 \le t \le 1.$$

1. $$y=\arcsin x$$

   Тогда

   $$-1 \le x \le 1.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=[-1;1].$$

2. $$y=\arcsin(5-2x)$$

   Тогда

   $$-1 \le 5-2x \le 1.$$

   Решим двойное неравенство:

   $$ -6 \le -2x \le -4 \\ 4 \le 2x \le 6 \\ 2 \le x \le 3 $$

   Следовательно,

   $$D(y)=[2;3].$$

3. $$y=\arcsin \frac{x}{2}$$

   Тогда

   $$-1 \le \frac{x}{2} \le 1.$$

   Умножим неравенство на $$2$$:

   $$-2 \le x \le 2.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=[-2;2].$$

4. $$y=\arcsin(x^2-3)$$

   Тогда

   $$-1 \le x^2-3 \le 1.$$

   Получаем систему:

   $$ x^2-3 \ge -1 \\ x^2-3 \le 1 $$

   то есть

   $$ x^2 \ge 2 \\ x^2 \le 4 $$

   Отсюда

   $$x \in [-2;-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};2].$$

Ответ

а) $$[-1;1]$$; б) $$[2;3]$$; в) $$[-2;2]$$; г) $$[-2;-\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2};2]$$.