Упр.21.29 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте и прочитайте график функции: а) y= Пи, если x < -1 arccosx, если -1 < =x < =1 корень (x-1), если x > 1 б) y= arccosx, если -1 < =x < =0,5 Пи/3, если 0,5 < x < =пи/3 x, если Пи/3 < x < =3

а) Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} \pi, & x<-1,\\ \arccos x, & -1\le x\le 1,\\ \sqrt{x-1}, & x>1. \end{cases} $$

1) При $$x<-1$$ график — горизонтальная прямая $$y=\pi$$.

2) На отрезке $$[-1;1]$$ строим график функции $$y=\arccos x$$. Для опорных точек:

$$ \arccos(-1)=\pi,\qquad \arccos(1)=0. $$

3) При $$x>1$$ строим график функции $$y=\sqrt{x-1}$$. Это график корня, сдвинутый вправо на 1.

Опорные точки:

$$ x=1,\ y=0;\qquad x=2,\ y=1;\qquad x=5,\ y=2. $$

Объединяем три части графика.

Свойства функции:

$$ D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[0;+\infty). $$

Функция убывает на $$[-1;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$, постоянна на $$(-\infty;-1]$$. Функция ни чётная, ни нечётная, не периодическая.

б) Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} \arccos x, & -1\le x\le 0{,}5,\\ \dfrac{\pi}{3}, & 0{,}5<x\le \dfrac{\pi}{3},\\ x, & \dfrac{\pi}{3}<x\le 3. \end{cases} $$

1) На отрезке $$[-1;0{,}5]$$ строим график $$y=\arccos x$$. Опорные точки:

$$ \arccos(-1)=\pi,\qquad \arccos(0{,}5)=\frac{\pi}{3}. $$

2) На промежутке $$\left(0{,}5;\frac{\pi}{3}\right]$$ график — горизонтальный отрезок $$y=\frac{\pi}{3}$$.

3) На промежутке $$\left(\frac{\pi}{3};3\right]$$ строим прямую $$y=x$$.

Опорные точки:

$$ x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow y=\frac{\pi}{3},\qquad x=3\Rightarrow y=3. $$

Объединяем части графика.

Свойства функции:

$$ D(f)=[-1;3],\qquad E(f)=\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]. $$

Функция убывает на $$[-1;0{,}5]$$, постоянна на $$\left[0{,}5;\frac{\pi}{3}\right]$$, возрастает на $$\left[\frac{\pi}{3};3\right]$$. Функция ни чётная, ни нечётная, не периодическая.

Ответ

а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty)$$; функция убывает на $$[-1;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$, постоянна на $$(-\infty;-1]$$.
б) $$D(f)=[-1;3],\ E(f)=\left[\frac{\pi}{3};\pi\right]$$; функция убывает на $$[-1;0{,}5]$$, постоянна на $$\left[0{,}5;\frac{\pi}{3}\right]$$, возрастает на $$\left[\frac{\pi}{3};3\right]$$.