Упр.21.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте и прочитайте график функции: а) у = -3 arccos x; б) у = 3Пи/4 — arccos x; в) у = 1/2 arccos x; г) у = 2/3 arccos (x + 1,5).

1. а) $$y=-3\arccos x$$

   График функции $$y=\arccos x$$ отражаем относительно оси $$Ox$$ и растягиваем по оси ординат в 3 раза.

   $$D(f)=[-1;1], \qquad E(f)=[-3\pi;0].$$

   Функция возрастает, так как при умножении на отрицательное число убывающая функция $$\arccos x$$ становится возрастающей.

   Нули функции: $$-3\arccos x=0 \Rightarrow \arccos x=0 \Rightarrow x=1.$$

   Знак функции: $$f(x)<0$$ при $$x\in[-1;1).$$

2. б) $$y=\frac{3\pi}{4}-\arccos x$$

   Сначала отражаем график $$y=\arccos x$$ относительно оси $$Ox$$, затем сдвигаем его вверх на $$\frac{3\pi}{4}$$.

   $$D(f)=[-1;1], \qquad E(f)=\left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right].$$

   Функция возрастает.

   Нули функции:

   $$\frac{3\pi}{4}-\arccos x=0 \Rightarrow \arccos x=\frac{3\pi}{4} \Rightarrow x=\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   $$f(x)>0$$ при $$x\in\left(-\frac{\sqrt2}{2};1\right], \qquad f(x)<0$$ при $$x\in\left[-1;-\frac{\sqrt2}{2}\right).$$

3. в) $$y=\frac12\arccos x$$

   График $$y=\arccos x$$ сжимаем к оси $$Ox$$ в 2 раза.

   $$D(f)=[-1;1], \qquad E(f)=\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

   Функция убывает.

   Нули функции: $$\frac12\arccos x=0 \Rightarrow \arccos x=0 \Rightarrow x=1.$$

   $$f(x)>0$$ при $$x\in[-1;1).$$

4. г) $$y=\frac23\arccos(x+1{,}5)$$

   График $$y=\arccos x$$ сдвигаем на $$1{,}5$$ единицы влево и сжимаем к оси $$Ox$$ в $$\frac32$$ раза.

   Область определения находим из условия:

   $$-1\le x+1{,}5\le 1,$$
   $$-2{,}5\le x\le -0{,}5.$$

   $$D(f)=\left[-2{,}5;-0{,}5\right], \qquad E(f)=\left[0;\frac{2\pi}{3}\right].$$

   Функция убывает.

   Нули функции:

   $$\frac23\arccos(x+1{,}5)=0 \Rightarrow \arccos(x+1{,}5)=0 \Rightarrow x+1{,}5=1 \Rightarrow x=-0{,}5.$$

   $$f(x)>0$$ при $$x\in\left[-2{,}5;-0{,}5\right).$$

Ответ

а) $$D(f)=[-1;1], \ E(f)=[-3\pi;0]$$, функция возрастает;
б) $$D(f)=[-1;1], \ E(f)=\left[-\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$, функция возрастает;
в) $$D(f)=[-1;1], \ E(f)=\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$, функция убывает;
г) $$D(f)=\left[-2{,}5;-0{,}5\right], \ E(f)=\left[0;\frac{2\pi}{3}\right]$$, функция убывает.