Упр.21.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте и прочитайте график функции: а) у = arccos (x — 1) — Пи/2; б) у = arccos (x + 2) + Пи/3

а) Рассмотрим функцию $$y=\arccos(x-1)-\frac{\pi}{2}.$$

График $$y=\arccos x$$ сдвигаем на 1 единицу вправо и на $$\frac{\pi}{2}$$ единицы вниз.

Так как для $$\arccos x$$ область определения $$[-1;1]$$, то для новой функции:

$$-1\le x-1\le 1,$$

$$0\le x\le 2.$$

Значит, $$D(f)=[0;2].$$

Значения функции $$\arccos x$$ лежат в промежутке $$[0;\pi]$$, поэтому после сдвига вниз на $$\frac{\pi}{2}$$ получаем:

$$E(f)=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Функция убывает на всей области определения.

Нули функции найдём из уравнения:

$$\arccos(x-1)-\frac{\pi}{2}=0,$$

$$\arccos(x-1)=\frac{\pi}{2},$$

$$x-1=\cos\frac{\pi}{2}=0,$$

$$x=1.$$

Следовательно, $$f(x)>0$$ при $$x\in[0;1),$$ а $$f(x)<0$$ при $$x\in(1;2].$$

Функция ни чётная, ни нечётная.

б) Рассмотрим функцию $$y=\arccos(x+2)+\frac{\pi}{3}.$$

График $$y=\arccos x$$ сдвигаем на 2 единицы влево и на $$\frac{\pi}{3}$$ единицы вверх.

Для области определения:

$$-1\le x+2\le 1,$$

$$-3\le x\le -1.$$

Значит, $$D(f)=[-3;-1].$$

Так как $$\arccos x\in[0;\pi],$$ то

$$E(f)=\left[\frac{\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\right].$$

Функция убывает на всей области определения.

Нули функции найдём из уравнения:

$$\arccos(x+2)+\frac{\pi}{3}=0.$$

Но $$\arccos(x+2)\ge 0,$$ а значит левая часть не может быть равна нулю. Следовательно, нулей нет.

На всей области определения $$f(x)>0.$$

Функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ

а) $$D(f)=[0;2],\quad E(f)=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],$$ функция убывает, $$f(x)>0$$ при $$x\in[0;1),$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(1;2],$$ функция ни чётная, ни нечётная.

б) $$D(f)=[-3;-1],\quad E(f)=\left[\frac{\pi}{3};\frac{4\pi}{3}\right],$$ функция убывает, $$f(x)>0$$ при $$x\in[-3;-1],$$ нулей нет, функция ни чётная, ни нечётная.