Упр.21.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Найдите область значений функции: а) у = 2 arccos x; б) у = 1,5 arccos x — Пи/2; в) у = -1/2 arccos x; г) у = Пи — 2arccos x.

Известно, что $$0 \le \arccos x \le \pi.$$

1. $$y=2\arccos x.$$

   Умножим неравенство $$0 \le \arccos x \le \pi$$ на $$2$$:

   $$0 \le 2\arccos x \le 2\pi.$$

   Значит, $$y \in [0;2\pi].$$

2. $$y=1{,}5\arccos x-\frac{\pi}{2}.$$

   Так как $$0 \le \arccos x \le \pi,$$ то

   $$0 \le 1{,}5\arccos x \le \frac{3\pi}{2}.$$

   Вычтем $$\frac{\pi}{2}$$ из всех частей неравенства:

   $$-\frac{\pi}{2} \le 1{,}5\arccos x-\frac{\pi}{2} \le \pi.$$

   Следовательно, $$y \in \left[-\frac{\pi}{2};\pi\right].$$

3. $$y=-\frac{1}{2}\arccos x.$$

   Из $$0 \le \arccos x \le \pi$$ получаем после умножения на $$-\frac{1}{2}$$ с изменением знаков неравенств:

   $$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{1}{2}\arccos x \le 0.$$

   Значит, $$y \in \left[-\frac{\pi}{2};0\right].$$

4. $$y=\pi-2\arccos x.$$

   Так как $$0 \le \arccos x \le \pi,$$ то

   $$0 \le 2\arccos x \le 2\pi.$$

   Вычтем это выражение из $$\pi$$:

   $$-\pi \le \pi-2\arccos x \le \pi.$$

   Следовательно, $$y \in [-\pi;\pi].$$

Ответ

а) $$[0;2\pi]$$; б) $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$; в) $$\left[-\frac{\pi}{2};0\right]$$; г) $$[-\pi;\pi]$$.