Упр.21.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: а) sin (2arcsin1/2 — 3arccos(-1/2)) б) cos (1/2arcsinx+arcsin(-корень2/2)) в) tg(arcsin корень 3/2 + 2arccos корень 2/2 г) ctg (3arccos(-1) — arcsin (-1/2))

1. $$\sin\left(2\arcsin\frac12-3\arccos\left(-\frac12\right)\right)=\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{6}-3\cdot\frac{2\pi}{3}\right)$$

   $$=\sin\left(\frac{\pi}{3}-2\pi\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

2. $$\cos\left(\frac12\arcsin 1+\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\right)=\cos\left(\frac12\cdot\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$$

   $$=\cos 0=1.$$

3. $$\tg\left(\arcsin\frac{\sqrt3}{2}+2\arccos\frac{\sqrt2}{2}\right)=\tg\left(\frac{\pi}{3}+2\cdot\frac{\pi}{4}\right)$$

   $$=\tg\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\right)=\tg\frac{5\pi}{6}=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

4. $$\ctg\left(3\arccos(-1)-\arcsin\left(-\frac12\right)\right)=\ctg\left(3\pi- \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$

   $$=\ctg\left(3\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\ctg\frac{\pi}{6}=\frac{\cos\frac{\pi}{6}}{\sin\frac{\pi}{6}}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac12}=\sqrt3.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt3}{2};\ 1;\ -\frac{\sqrt3}{3};\ \sqrt3.$$