Упр.21.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Вычислите: а) sin(arccos(-1/2)) б) tg (arccos корень 3/2) в) ctg (arccos0) г) sin (arccos корень 2/2)

Используем значения обратных тригонометрических функций и формулы для тригонометрических функций углов из I четверти.

а) $$\sin(\arccos(-\tfrac12))$$

Пусть $$\alpha=\arccos(-\tfrac12).$$ Тогда $$\cos\alpha=-\tfrac12,$$ а $$\alpha=\tfrac{2\pi}{3}.$$ Следовательно,

$$\sin(\arccos(-\tfrac12))=\sin\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}.$$

б) $$\tg(\arccos\tfrac{\sqrt3}{2})$$

Пусть $$\beta=\arccos\tfrac{\sqrt3}{2}.$$ Тогда $$\cos\beta=\tfrac{\sqrt3}{2},$$ значит $$\beta=\tfrac{\pi}{6}.$$ Поэтому

$$\tg(\arccos\tfrac{\sqrt3}{2})=\tg\tfrac{\pi}{6}=\frac{\sin\tfrac{\pi}{6}}{\cos\tfrac{\pi}{6}}=\frac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

в) $$\ctg(\arccos 0)$$

Так как $$\arccos 0=\tfrac{\pi}{2},$$ то

$$\ctg(\arccos 0)=\ctg\tfrac{\pi}{2}=\frac{\cos\tfrac{\pi}{2}}{\sin\tfrac{\pi}{2}}=\frac{0}{1}=0.$$

г) $$\sin(\arccos\tfrac{\sqrt2}{2})$$

Пусть $$\gamma=\arccos\tfrac{\sqrt2}{2}.$$ Тогда $$\gamma=\tfrac{\pi}{4},$$ и

$$\sin(\arccos\tfrac{\sqrt2}{2})=\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt3}{3}$$; в) $$0$$; г) $$\frac{\sqrt2}{2}$$.