Упр.21.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте график функции: а) у = 3|arcsin x| — arcsin х; б) у = arcsin x + |arcsin x|; в) у = arcsinx-Пи/3 г) у = -arcsin |х — 2|.

а) $$y=3|\arcsin x|-\arcsin x$$

Область определения: $$x\in[-1;1].$$

Рассмотрим два случая:

$$ \begin{cases} x\ge 0, & |\arcsin x|=\arcsin x,\\ x<0, & |\arcsin x|=-\arcsin x. \end{cases} $$

$$ y= \begin{cases} 3\arcsin x-\arcsin x=2\arcsin x, & x\ge 0,\\ -3\arcsin x-\arcsin x=-4\arcsin x, & x<0. \end{cases} $$

Значит, график состоит из двух частей: при $$x\ge 0$$ это график функции $$y=2\arcsin x,$$ а при $$x<0$$ — график функции $$y=-4\arcsin x.$$

б) $$y=\arcsin x+|\arcsin x|$$

Область определения: $$x\in[-1;1].$$

$$ y= \begin{cases} \arcsin x+\arcsin x=2\arcsin x, & x\ge 0,\\ \arcsin x-\arcsin x=0, & x<0. \end{cases} $$

Следовательно, при $$x<0$$ график совпадает с осью $$Ox,$$ а при $$x\ge 0$$ совпадает с графиком $$y=2\arcsin x.$$

в) $$y=\left|\arcsin x-\dfrac{\pi}{3}\right|$$

Область определения: $$x\in[-1;1].$$

Найдём, где выражение под модулем неотрицательно:

$$ \arcsin x-\frac{\pi}{3}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \arcsin x\ge \frac{\pi}{3} \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}. $$

Тогда

$$ y= \begin{cases} \arcsin x-\dfrac{\pi}{3}, & x\ge \dfrac{\sqrt3}{2},\\[6pt] \dfrac{\pi}{3}-\arcsin x, & x<\dfrac{\sqrt3}{2}. \end{cases} $$

г) $$y=-\arcsin|x-2|$$

Область определения задаётся условием $$|x-2|\le 1,$$ то есть

$$ x\in[1;3]. $$

Рассмотрим модуль:

$$ y= \begin{cases} -\arcsin(x-2), & x\ge 2,\\ -\arcsin(2-x), & x<2. \end{cases} $$

График симметричен относительно прямой $$x=2$$, проходит через точку $$\left(2,0\right)$$ и имеет значения от $$-\dfrac{\pi}{2}$$ до $$0.$$

Ответ

а) $$y= \begin{cases} 2\arcsin x, & x\ge 0,\\ -4\arcsin x, & x<0; \end{cases}$$
б) $$y= \begin{cases} 2\arcsin x, & x\ge 0,\\ 0, & x<0; \end{cases}$$
в) $$y= \begin{cases} \arcsin x-\dfrac{\pi}{3}, & x\ge \dfrac{\sqrt3}{2},\\[6pt] \dfrac{\pi}{3}-\arcsin x, & x<\dfrac{\sqrt3}{2}; \end{cases}$$
г) $$y= \begin{cases} -\arcsin(x-2), & x\ge 2,\\ -\arcsin(2-x), & x<2. \end{cases}$$