Упр.21.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: Постройте и прочитайте график функции: а) y= Пиx/2, если x < 1; arcsinx, если -1 < =x < =1 Пи/2, если x > 1. б) y= arcsinx, если -1 < =x < =0 -arcsinx, если 0 < x < =1 (x-1)2-Пи/2, если 1 < x < =3

а) Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} \dfrac{\pi x}{2}, & x<-1,\\ \arcsin x, & -1\le x\le 1,\\ \dfrac{\pi}{2}, & x>1. \end{cases} $$

1) При $$x<-1$$ график — прямая $$y=\dfrac{\pi x}{2}$$. Для построения удобно взять точки:

$$ x=-2 \Rightarrow y=-\pi,\qquad x=-1 \Rightarrow y=-\dfrac{\pi}{2}. $$

2) На отрезке $$[-1;1]$$ строим график функции $$y=\arcsin x$$. Он проходит через точки:

$$ (-1;-\dfrac{\pi}{2}),\quad (0;0),\quad (1;\dfrac{\pi}{2}). $$

3) При $$x>1$$ график — горизонтальная прямая $$y=\dfrac{\pi}{2}$$.

Соединяем эти части в один график.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• $$E(f)=(-\infty;\dfrac{\pi}{2}]$$;
• функция возрастает на $$(-\infty;1]$$;
• постоянна на $$[1;+\infty)$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$;
• $$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не является периодической.

б) Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} \arcsin x, & -1\le x\le 0,\\ -\arcsin x, & 0<x\le 1,\\ (x-1)^2-\dfrac{\pi}{2}, & 1<x\le 3. \end{cases} $$

1) На отрезке $$[-1;0]$$ строим график $$y=\arcsin x$$. Опорные точки:

$$ (-1;-\dfrac{\pi}{2}),\quad (0;0). $$

2) На промежутке $$0<x\le 1$$ строим график $$y=-\arcsin x$$. Опорные точки:

$$ (0;0),\quad (1;-\dfrac{\pi}{2}). $$

3) На промежутке $$1<x\le 3$$ строим параболу $$y=(x-1)^2-\dfrac{\pi}{2}$$. Её вершина:

$$ x_0=1,\qquad y_0=-\dfrac{\pi}{2}. $$

Для построения можно взять точки:

$$ x=1 \Rightarrow y=-\dfrac{\pi}{2},\qquad x=2 \Rightarrow y=1-\dfrac{\pi}{2},\qquad x=3 \Rightarrow y=4-\dfrac{\pi}{2}. $$

Соединяем полученные части графика.

Свойства функции:

• $$D(f)=[-1;3]$$;
• $$E(f)=\left[-\dfrac{\pi}{2};\,4-\dfrac{\pi}{2}\right]$$;
• возрастает на $$[-1;0]\cup[1;3]$$;
• убывает на $$[0;1]$$;
• $$f(x)>0$$ при $$x\in\left(1+\sqrt{\dfrac{\pi}{2}};\,3\right]$$;
• $$f(x)<0$$ при $$x\in[-1;0)\cup\left(0;\,1+\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}\right)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• функция не является периодической.

Ответ

Графики построены; свойства функций указаны выше.