Упр.21.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: а) у = arcsin 2x; в) у = arcsin x/3 б) у = arcsin x/2+Пи/6; г) у = arcsin 2(x — 1) + Пи/2

1. а) $$y=\arcsin 2x$$

   График функции $$y=\arcsin x$$ сжимаем к оси $$Oy$$ в 2 раза. Получаем график функции $$y=\arcsin 2x$$.

   Область определения: $$-1\le 2x\le 1,$$ значит $$x\in\left[-\frac12;\frac12\right].$$

   Область значений: $$y\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

2. б) $$y=\arcsin \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}$$

   График $$y=\arcsin x$$ растягиваем от оси $$Oy$$ в 2 раза, затем сдвигаем вверх на $$\frac{\pi}{6}$$.

   Область определения: $$-1\le \frac{x}{2}\le 1,$$ значит $$x\in[-2;2].$$

   Область значений: $$y\in\left[-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right]=\left[-\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right].$$

3. в) $$y=\arcsin \frac{x}{3}$$

   График $$y=\arcsin x$$ растягиваем от оси $$Oy$$ в 3 раза.

   Область определения: $$-1\le \frac{x}{3}\le 1,$$ значит $$x\in[-3;3].$$

   Область значений: $$y\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

4. г) $$y=\arcsin 2(x-1)+\frac{\pi}{2}$$

   График $$y=\arcsin x$$ сжимаем к оси $$Oy$$ в 2 раза, затем сдвигаем на 1 единицу вправо и на $$\frac{\pi}{2}$$ вверх.

   Область определения: $$-1\le 2(x-1)\le 1,$$ значит $$x\in\left[\frac12;\frac32\right].$$

   Область значений: $$y\in\left[-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right]=\left[0;\pi\right].$$

Ответ

а) $$D=\left[-\frac12;\frac12\right],\ E=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right];$$
б) $$D=[-2;2],\ E=\left[-\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\right];$$
в) $$D=[-3;3],\ E=\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right];$$
г) $$D=\left[\frac12;\frac32\right],\ E=[0;\pi].$$